f[x_,y_]:=((((x^2)+(y^2)))/2)(E^((x^2)-(y^2)))

E

Grad[f[x,y],{x,y}]

(Grad[{(E^((x^2)-(y^2))) x+(E^((x^2)-(y^2))) x ((x^2)+(y^2)),(E^((x^2)-(y^2))) y-(E^((x^2)-(y^2))) y ((x^2)+(y^2))}, {x,y}])

MatrixForm[%5]

Function[lu,{LowerTriangularize[lu,-1]+IdentityMatrix[Dimensions[lu]],UpperTriangularize[lu]}][First[LUDecomposition[%6]]]

Det[%6]

Simplify[%7]

Grad[f[0,0],{x,y}]

G[m_,m_]:=(Grad[{(E^((x^2)-(y^2))) x+(E^((x^2)-(y^2))) x ((x^2)+(y^2)),(E^((x^2)-(y^2))) y-(E^((x^2)-(y^2))) y ((x^2)+(y^2))}, {x,y}])

G[0,0]

G[x,y]

G[0,0]

(Grad[{(E^((x^2)-(y^2))) x+(E^((x^2)-(y^2))) x ((x^2)+(y^2)),(E^((x^2)-(y^2))) y-(E^((x^2)-(y^2))) y ((x^2)+(y^2))}, {0,0}])

g[x_,y_]:=(({{(E^((x^2)-(y^2)))+4 (E^((x^2)-(y^2))) (x^2)+(E^((x^2)-(y^2))) ((x^2)+(y^2))+2 (E^((x^2)-(y^2))) (x^2) ((x^2)+(y^2)), -2 (E^((x^2)-(y^2))) x y ((x^2)+(y^2))}, {-2 (E^((x^2)-(y^2))) x y ((x^2)+(y^2)), (E^((x^2)-(y^2)))-4 (E^((x^2)-(y^2))) (y^2)-(E^((x^2)-(y^2))) ((x^2)+(y^2))+2 (E^((x^2)-(y^2))) (y^2) ((x^2)+(y^2))}}))

g[0,0]

Grad[f[1,1],{x,y}]

g[1,1]